376 Sophus Lie. 



zweckmässigen Variabeln in eine lineare Grnppe umgewandelt 

 werden kann. 



Dass der entsprechende Satz nicht für mehrfach ausge- 

 dehnten Mannigfaltigkeiten besteht, folgt schon daraus, dass 

 die allgemeine lineare Gruppe einer n-fach ausgedehnten 

 Mannigfaltigkeit eine bestimmte Anzahl, und zwar n {n + 2) 

 Parameter enthält, während es möglich ist Transformations- 

 gruppen dieser Mannigfaltigkeit mit beliebig vielen Parame- 

 ter anzugeben. 



Als ich indess in 1874 (Göttin ger Nachrichten No. 22) 

 alle Gruppen einer zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit 

 bestimmte, fand ich, dass alle hierher gehörigen Gruppen, die 

 sich nicht in lineare überführen Hessen, einen gemeinsamen 

 Charakter besassen. Um mich möglichst klar auszudrücken, 

 werde ich wie gewöhnlich unsere zweifach ausgedehnte Man- 

 nigfaltigkeit {æy) als eine Punkt-Mannigfaltigkeit, und zwar 

 als eine Ebene mit den Cartesischen Coordinaten æy auffassen. 

 Bei den Transformationen einer Gruppe werden die Punkte 

 der Ebene transformirt, das heisst, in neue Lagen überge- 

 führt; dementsprechend werden auch die Curven unserer Ebene 

 in neue Lagen übergeführt. Enthält die Gruppe z. B. m Pa- 

 rameter, so erhält eine arbiträr gewählte Curve im Allge- 

 meinen durch successive Ausführung aller Transformationen 

 der Gruppe oo™ verschiedene Lagen. Es giebt indess, wie 

 ich sogleich an bekannten Beispielen verificiren werde, ge- 

 wisse ausgezeichnete Curven, die durch successive Ausführung- 

 aller Transformationen der Gruppe nicht od™ sondern nur eine 

 geringere Anzahl verschiedene Lagen annehmen. 



Man betrachte in der That z. B. die allgemeine lineare 

 Gruppe der Ebene, die acht Parameter enthält. Vermöge der 

 oD^ Transformationen dieser Gruppe erhält eine arbiträr ge- 

 wählte Curve bekanntlich c^^ verschiedene Lagen. Nimmt 

 man dagegen z. B. eine logarithmische Spirale, so stellt sich 

 die Sache anders. Denn eine solche Curve wird durch einfach 



