Theorie der Transformations-Gruppen. 377 



unendlich viele lineare Transformationen nur in sich selbst 

 translbrmirt, und erhält daher durch successive Ausführung- 

 aller linearen Transformationen nur cv.^ verschiedene Lagen. 

 Nimmt man einen Kegelschnitt, so stellt sich die Sache noch 

 einfacher, denn ein Kegelschnitt gestattet oc-^ lineare Trans- 

 formationen, und erhält daher durch Ausführung aller linearen 

 Transformationen nur >c^ verschiedene Lagen. Endlich erin- 

 nern wir auch daran, dass eine Gerade oo'^ lineare Transfor- 

 mationen gestattet, und dass sie daher durch Ausführung aller 

 linearen Transformationen nur oc- verschiedene Lagen an- 

 nimmt. 



Es giebt bekanntlich keine ebene Curve, die durch Aus- 

 führung aller linearen Transformationen nur oc^ Lagen an- 

 nimmt. Denn es giebt keine Curve, die c^^ lineare Transfor- 

 mationen gestattet, indem die achtgliedrige lineare Gruppe 

 der Ebene keine siebeugliedrige Untergruppe enthält. 



In der früher citirten Arbeit fand ich mm, dass es für 

 die lineare Gruppe der Ebene charakteristisch ist, dass es 

 keine Curve giebt, die durch alle Transformationen der Gruppe 

 nur c>D^ Lagen annimmt, anders ausgesprochen, ich fand, dass 

 jede Gruppe, die sich nicht in eine lineare Gruppe umwandeln 

 lässt, eine Seh aar von >û' Curven 



q) {oßy) = a = Const. 

 invariant lässt. 



Es ist vortheilhaft, diesen gemeinsamen Charakter der 

 nicht-linearen Gruppen in etwas anderer Weise aufzufassen. 

 Lass mich überhaupt eine beliebige Gruppe mit m Parame- 

 tern, die die Punkte einer Ebene transformirt, betrachten. 

 Ich nehme einen Punkt p allgemeiner Lage und bemerke, 

 dass es jedenfals c^"' ^ Transformationen der Gruppe giebt, 

 die p invariant lassen. Der Inbegriff dieser Transformationen 

 bilden eine Untergruppe, vermöge deren die oo^ durch p hin- 

 durchgehenden Linenelemente linear transformirt werden. Es 

 sind nun vier Fälle möglich, indem die lineare Gruppe, die 



