Theorie der Transformations-Gruppen. 379 



§ 1. 



Bestimiuuiig der iiif. Transformationen 1. (I. 



Die infinitesimalen Punkt-Transformationen der n-facli 

 ausgedehnten Mannigfaltigkeit Wi æ.^ . ■ . Xu besitzen, wenn man 

 df df 



d^rP''-'&r^'" 



setzt, die Form 



wo die 5k Funktionen der æ sind. 



1. Wenn eine Transformationsgruppe der Mannigfaltig- 

 keit Æ?j æ.2 . . . Xr, in dem früher erklärten Sinne die grösst- 

 mögliche Transitivität im Infinitesimalen besitzt, so ist leicht 

 zu erkennen, dass ein Punkt allgemeiner Lage vermöge einer 

 Transformation der Gruppe in einen beliebigen benachbarten ^) 

 Punkt übergeführt werden kann. Denn gesetzt, dass jeder 

 Punkt sich nur auf einer g'-faeh ausgedehnten Mannigfaltigkeit 

 Jfq bewegen könnte; alsdann enthielte die vorgelegte M,, 

 oo"-^ solche ifq, deren Inbegriff durch die Gruppe invariant 

 sein mtisste, was mit unseren Voraussetzungen in Widerspru- 

 che stände. 



Bilde ich daher nach dem Vorgange meiner letzteii Abband 

 lung über Transformationsgruppen (Bd. III, pg. 126 und fg.) 

 in der Umgebung eines beliebigen Punktes p die in unserer 

 Gruppe enthalteneu inf. Transformationen nullter, erster, zwei- 

 ter . . . s^" Ordnung, so erhalte ich n unabhängige inf. Trans- 

 formationen nullter Ordnung, die die Form 



erhalten können, wobei die weggelassenen Glieder infinitesi- 

 mal sind. 



Die inf. Transformationen erster und höherer Ordnung 



^) An dieser Stelle soll das Wort, „benachbart"' nicht „infinitesimal benach- 

 barf'' heissen. 



