380 Sophus Lie. 



lassen p invariant, während dies mit keiner Transformation 

 militer Ordnung der Fall ist. Die Transformationen von zwei- 

 ter und höherer Ordnung lassen zugleich die durch p gehen- 

 den Linienelemente invariant, was zugleich mit einer Trans- 

 formation erster Ordnung nehmlich 



cc^ p-^ + x^p^+ . . . + ainPa + ■ • • = -2 æ^pii + . . . 



der Fall ist.^) Eine jede andere Transformation erster Ord- 

 nung 



^ik ö^ik Æ?i /?k + . . . , 

 transformirt die durch p gehenden Linienelemente. Da nun 

 dieoD«-' Linienelemente durch die allgemeine lineare Gruppe 

 mit n^—\ Parametern transformirt werden sollen, so muss 

 die vorglegte Gruppe G der Ma jedenfalls n^ — 1 unabhängige 

 inf. Transformationen erster Ordnung, die zugleich von der 

 Transformation ^ <2?k Pk + • • • unabhängig sind, enthalten. Auf 

 der anderen Seite ist klar, dass G nicht mehr als n^ inf 

 Transformationen erster Ordnung enthalten kann, indem die 

 allgemeine Transformation erster Ordnung Sa, an, æipk + . . . 

 nur n^ Parameter enthält. 



2. Daher sind zwei Fälle denkbar. Entweder enthält 

 G n^ inf. Transformationen erster Ordnung, die man sämmt- 

 lich erhält wenn man in dem Ausdrucke 



a)iPk + .. . 

 den Indices i und k successiv alle Werthe 1, 2 ... w giebt. 

 Oder auch enthält 6r nur n^ — 1 Transformationen erster Ordnung, 

 unter denen keine die Form 2 x\^ pk + . . . besitzt, indem diese 

 Transformation die durch Origo gehenden Richtungen inva- 

 riant lässt. Für diesen letzten Fall werde ich die Form un- 

 serer n^ — 1 Transformationen erster Ordnung bestimmen. 



Es ist zunächst klar, dass G eine inf. Transformation 

 der Form 



^) Im Texte wird der Punkt p zu Origo gewählt. 



