384 Sophus Lie. 



Unsere Gruppe enthält eine Transformation der Form 



i?, + . . . 

 und also zugleich die Transformation 



und endlich auch die Transformation 



(cTi« 'jt?2 +...,^s)= (2 - s)a;^'''- -p, + ... 



Wäre nun s > 2, und also auch 2s — 2^ s, so enthielte die 

 Gruppe inf. Transformationen, deren Ordnung grösser als 5 

 wäre, was von vorn ausgeschlossen ist. Also ist s = 2, und 



Hs = ^Vj ^^py + Xj æ., p.^ + . . . + .r 1 æ^ pn + . . ■), 



vorausgesetzt dass die Gruppe überhaupt inf. Transformatio- 

 nen, deren Ordnung grösser als 1 ist, enthält. 



Die Gruppe enthält die Transformation p^ + ... und also 

 zugleich die Transformation 



(p^ + . . . , Hs) ^2æ^p^ + æ., p.> + . . . + .r„ pn + . . .; 



Nun aber giebt es für jedes k eine in der Gruppe enthaltene 

 Transformation der Form 



æ^ P^ — a?kjt)k + ; ..; 



daher schliessen wir, dass unsere Gruppe eine jede Transfor- 

 mation der Form 



trki?k + .. . 

 und also zugleich eine jede Transformation 



'f i /?k + . • . 

 enthält. Dies steht indess im Widerspruche mit unserer An- 

 nahme, dass die Gruppe nicht n- sondern nur n~ — l Trans- 

 formationen ersten Ordnung enthalten soll. Also schliessen 

 wir dass s = l ist. 



Satz 1. Enthält unsere Gmppe nur n^ — 1 inf. Transfor- 

 mationen erster Ordnung, so enthält sie keine Transformation, 

 deren Ordnung grösser als 1 ist. 



