Theorie der Transformations-Gruppen. 385 



§3. 



Enthält die Grrnppe n^ Transformationen 1. 0. und ausserdem 



einige von liölierer Ordnung-, so ist sie mit der allgemeinen 



linearen aelinlicli. 



Ich betrachte eine Gruppe mit n^ inf. Transformationen 

 erster Ordnung 



die zugleich Transformationen höherer Ordnung enthält. Ich 

 werde zeigen, dass die grösste Ordnung gleich 2 ist; ich be- 

 stimme darnach alle Transformationen zweiter Ordnung, und 

 zeige endlich, dass die Gruppe durch Einführung von zweck- 

 mässigen Coordinaten in die allgemeine lineare übergehen 

 kann. 



4. Indem ich ganz wie im vorangehenden Paragraph 

 verfahre, erkenne ich, indem ich die Maximums-Ordnung mit 

 s bezeichne, dass die Gruppe eine Transformation der Form 



+ B^x^^P2 + B^æ-^^p^ + . . . + Bnæ-^^ pn 

 enthält; dabei ergiebt sich, wie damals erstens, dass nur eine 

 einzige unter den Coefficienten .4, B^, B^ . .. Bn von Null ver- 

 schieden ist, zweitens dass jede Form 



unmöglich ist, drittens dass s = 2 ist, sodass die betreffende 

 Transformation die Form 



K^ = a^i^ Pi + æ -^ æ .2 p 2 + • . . + ^i Ä?uPn + . . . 

 besitzt. 



Es ist dabei leicht weitere Transformationen zweiter Ord- 

 nung zu finden; dann es ist 



i^sPl + '•-■> ^l) = -^3 = ^3 ^iPl +'^3^2P2+ • • • + ^3 £CaPn + . . . 



{ußnPi + . . .,-^i) = -Kn = «7n ^ii?l +^n.«?2 ^2 "♦"••• + Oßn Pn + . • . 

 Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 4 H. 25 



