Theorie der Transformations-Gruppen. 387 



5. Ich setze 



a?i Pi + = Ri 



und bemerke zunächst, dass, die 2n Transformationen R\ und 

 (Sk aufgefasst als Funktionen von æ-^ ...XaPi .../>u unabhän- 

 gig sind, indem dies in der nächsten Umgebung von Origo 

 der Fall ist. Ich bemerke ferner, dass Relationen der Form 



{S, 5k) = {Ri Sk) = 0, (Ri Si) = Si 



(R[ Rk) = Cik\ S-^ + Cik2 S2 + ■ . . + Cikn 'S^n 



bestehen, so dass die Ri und S^ (Bd. I, pg. 184) eine 2n- 

 gliedrige Funktionengruppe bilden. Ich setze 



Ri + «il S-^ + ai2 S2 + . . . + «in 'S'n = Ri^ 



und führe darnach die Ri^ als neue Ri ein. Dabei ist es 

 möglich die Constanten «ij derart zu wählen, dass alle Coeffi- 

 eienten Ciki und Cikk verschwinden. 



Sodann bilde ich die Jacobische Identität 



((Ri Ri,) Rs) + ((Äk Rs) Ri) + ((Rs Ri) Rk) = 

 woraus 



2ö [Cikö (8ø Rs) + Cksö (S^ Ri) + Ciö (Sß Ri,)] = 

 und durch Einsetzung der Werthe der Grössen (Sm Rn) 



— Ciks "-'s Cksi Si Csik S^ — 0. 



Hieraus aber ergiebt sich, dass 



^iks '^ <?ksi ^ Csik = ^ 



das heisst, dass alle Caßy gleich Null sind. 



Hiermit haben die zwischen den 2n unabhängigen Funk- 

 tionen Ri, Sk stattfindenden Relationen die Form 



(Ri Ri,) = , (Ri Sk) = 0, {Ri Si) = Si, (Si Si,) = 



erhalten, so dass die Funktionen-Gruppe Ri ,S'k mit der Gruppe 



Ri^Si,'>, wo 



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