Theorie der Transformations-Gruppen. 403 



Bestinimung aller Gruppen von Berülirungs-Transformationen 



einer Ebene. 



In diesem Abschnitte bestimme ich alle Gruppen von 

 ßerühriings-Tvar\s,i'orma.t'\onen einer Ebene, welche nicht durch 

 eine zweckmässige Berührungs-Transfbrmation in Gruppen 

 von PimÄ^^-Transformationen umgewandelt werden können. 

 Da ich nun im vierten Abschnitte alle Gruppen von Punkt- 

 Transformationen einer Ebene bestimmt habe, so erhalte ich 

 durch Vereinigung dieser Theorien eine vollständige Theorie 

 der Transformationsgruppen einer Ebene. 



§5. 

 Vorbereitende üntersnchnngen. 



12. Als Coordinaten eines Linienelements in der Ebene 

 benutze ich wie gewöhlich die Grössen æ, y, p. Dabei soll 

 wie gewöhnlich die Gleichung 



dy - p dx = 

 ausdrücken, dass die Elemente æ, y, p und æ + dæ, y + dy, p + dp 

 vereinigt Hegen. Dies vorausgesetzt, ist eine BerUhrungs-Trans- 

 formation nach meiner Definition eine Transformation zwi- 

 schen den Variabein cc y p, vermöge deren die Gleichung 



dy — p dec ^ 

 invariant bleibt. 



Ich interpretire oc y p als Punkt-Coordinaten eines drei- 

 fach ausgedehnten Raumes. Die Gleichung dy — p da; ^ 

 ordnet jedem Punkte dieses Raumes c>oi Fortschreitungs-Rich- 

 tungen dy dæ dp zu; und zwar liegen diese Richtungen in 

 einer Ebene, die dem betreffenden Punkte zugeordnet ist. 



Eine Transformation i) zwischen æ y p, die den Punkt 



*) Die im Texte betrachteten Transformationen zwischen xp p sollen immer 

 5er«Ä>M«^s-Transformationen sein. 



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