404 Sophus Lie. 



^o P(. Va invariant lässt, transformirt die durch diesen Punkt 

 hindurchgehenden Richtungen ; insbesondere vertauscht sie 

 die c>ci Richtungen, die dy — p dx = erfüllen, unter sich. 



Dies vorausgesetzt, werde ich eine Gruppe von Transfor- 

 mationen zwischen xyp betrachten. Es giebt immer gewisse 

 Transformationen, die einen arbiträr gewählten Punkt .^'o 3/0^0 

 invariant lassen. Dieselben bilden eine Untergruppe; sie 

 transformiren die durch æ?„ 3/,, p^ gehenden Linienelemente, 

 und zwar durch eine lineare Gruppe. - Durch diese Gruppe 

 werden die ^c<' Linienelemente des Büschels dy — pdæ = 

 unter sich vertauscht. 



Es sind nun vier verschiedene Fälle denkbar, jenachdem 

 die Linienelemente des Büschels dy — p dx = nullgliedrig, 

 eingliedrig, zweigliedrig oder dreigliedrig transformirf wer- 

 den. In den drei ersten Fällen giebt es jedenfalls eine Glei- 

 chung der Form 



dx dy dp 



(wo P eine gewisse Funktion von x y p bezeichnet), die die 

 Transformationen der Gruppe gestattet. Integrirt man das 

 simultane System 



dx dy dp 



T^ J ^ ~P 



durch die beiden Gleichungen 



U ^ a= Const., 



F= 6 = Const., 



so ist der Inbegriff der esc 2 Curven im Räume, die durch die 

 beiden letzten Gleichungen dargestellt werden, invariant durch 

 die Gruppe. Eliminirt man darnach j?, so erhält man eine 

 Gleichung 



f{xyah)'=0 



