Theorie der Transformations-Gruppen. 405 



die csj2 Curven in der Ebene darstellt. Der Inbegriff dieser 

 Curven ist bei der Gruppe invariant. Es giebt nun eine ganz 

 bestimmte Berübrungs-Transformation, diejenige nehmlicb, die 

 durch die Gleichung 



definirt wird, die die cn^^ Curven f{æyah) = Q in die Punkte 

 der Ebene überführt. Vermöge dieser Berührungs-Transforma- 

 tion geht die vorgelegte Gruppe über in eine Gruppe, die 

 sämmtliche Punkte der Ebene invariant lässt. Die neue Gruppe 

 ist eine Gruppe von PimÄri-Transformationen. Hiermit ist der 

 folgende fundamentale Satz bewiesen 



Satz 1. Kann eine Grvppe von Berührungs- Transformatio- 

 nen nicht in eine Grvppe von Punkt- Transformationen überge- 

 führt werden, so müssen diejenigen Transformationen der Gruppe, 

 die ein arbiträr gemähtes Werth-System oc y p invariant lassen^ 

 die Fortschreittings- Richtungen dœ dy dp des Büschels 

 dy - p dac = dreigliedrig transformiren. 



Hieraus folgt nun zunächst, dass jedes Werth-System .273//? 

 durch eine Transformation der betreffenden Gruppe in jedes 

 benachbartes übergeführt werden kann. Denn gesetzt, dass 

 es c>ci* zweifach ausgedehnte MaLnigfaltigkeiten 



cp (æ y p) = a ^ Const 



gäbe, die bei den Transformationen der Gruppe invariant 

 blieben. Alsdann bliebe diejenige Richtung dx dy dp, die die 

 beiden Gleichungen 



d(p j dcp . dcp ^ ^ 



dy — p dx ^ 



befriedigte, bei denjenigen Transformationen invariant, welche 

 das betreffende Werth-System x y p invariant Hessen. 



Unsere Gruppe enthält daher in der Umgebung eines 

 beliebigen Werth-Systems x y p drei inf. Transformationen 



