406 Sophus Lie. 



nulltcr Ordnung. Sie enthält ferner nach dem Vorangehenden 

 drei Transformationen erster Ordnung. Also enthält sie im 

 Allen jedenfalls sechs inf. Transformationen. Dies giebt 



Satz 2. Eine Grvppe in der Ebene, die sich nicht in eine 

 Gruppe von Punkt-Transformationen umwandeln lässt, enthält 

 jedenfalls sechs Parameter. 



13. Durch Fortsetzung dieser Betrachtungen lässt sich 

 nachweisen, dass jede Gruppe, die nicht in eine Gruppe von 

 Punkt-Transformationen übergehen kann, eine Untergruppe 

 mit jedenfalls fünf Parameter enthält, welche in eine Gruppe 

 von Punkt-Transformationen umgewandelt werden kann. Hierzu 

 ist es nothwendig zuerst einige Untersuchungen über lineare 

 Gruppen vorauszuschicken 



Wir stellen uns als Hülf-Problem die Aufgabe, alle lineare 

 Gruppen einer Ebene zu finden, die einerseits eine Gerade 

 invariant lassen, andererseits die Punkte dieser Gerade drei- 

 gliedrig transformiren. 



Benutzen wir æ und y als Cartesische Punkt- Coordinaten 

 und setzen dabei, wie wir pflegen 



rf/_ dl_ 

 dx'^'dy ^' 



so bestimmen die sechs inf. Transformationen 



p,q, æq,yp,æp yq 



die allgemeinste lineare Gruppe, die die unendlich entfernte 

 Gerade invariant lässt. Bemerken wir nun, dass die drei 

 Transformationen 



p, q, xp + yq 



die Punkte der unendlich entfernten Gerade invariant lassen, 

 während die drei Transformationen 



xq, yp, xp — yq 



dieselben Punkte dreigliedrig transformiren, so kann unser 

 Hülf-Problem auch folgendermassen formulirt werden. 



