408 Sophus Lie. 



H^= xq-^ B^q, 



H^^æp — yq + B^p — A^q, 



oder 



H^^{æ-\-B^)q, 



H^'-iy + A^Jp. 



Führt man daher æ + B^ als neues æ und y + A^ als neues 

 y ein, so erhält unsere Gruppe die Form xq, æp — yq, yp. 

 Also 



Satz 3. Die Orvppe æq, æp — yq, yp ist die allgemeinste drei- 

 gliedrige lineare Gruppe der Ebene, die eine Gerade invariant 

 lässty und dabei die Punkte dieser Gerade dreigliedrig trans- 

 formirt. 



15. Wir suchen jetzt die allgemeinste viergliedrige Gruppe 

 der Form 



H^=æq+ A^p + B^q+C, {æp + yq) , 



H^^æp — yq+Ac^p + B^q+a^iæp + yq), 



H^=yp + A^p + B^q+Cs (æp + yq) 



H^= A^p + B^q+C^ {æp + yp). 



Ist O4 verschieden von Null, was wir zunächst voraussetzen 

 werden, so kann 



(/]^ = Og = Og = 0, O4 = 1 



gesetzt werden. Indem man darnach wie soeben die Aus- 

 drücke (jE?i B^) {H^ H^) {H2 H^) bildet, erkennt man, dass 

 auch die Coefficienten A-^ B^ A^ B^ A^ B^ gleich Null ge- 

 setzt werden können: 



H^ = æq 



3^ = æp—yq, 



H^ = æp + yq + A^p + B^ q. 



