Theorie der Transformations-Gruppen. * 409 



Es ist 



also muss sowohl A^ wie B^ gleich Null sein. 



Ist andererseitz C^ = 0, so erkennt man wiederum, indem 

 man die Ausdrücke {U^ H.^) (H^ H^) {H.^ B.^) bildet, dass 



sein müssen; man erkennt ferner, ^ass A-^, B^, A.^, B.^, A^, B^ 

 gleich Null gesetzt werden können: 



H^ = æq 



H^ = A^p + B^q. 

 Nun ist 



{H,H,) = -A,q/ 



{H,H,)^-B,p, 



sodass sowohl die Annahme A^^Q wie die Annahme ^^ ^ 



zu Contradictio führen. Und als muss C^ von Null verschie- 

 den sein. Dies giebt 



Satz 4. Die Gruppe xq, xp, yq, yp ist die allgemeinste vier- 

 gliedrige lineare Gruppe^ die eine Gerade invariant lässt, und 

 welche dabei ihre Punkte dreigliedrig transformirt 



16. Diese beiden Sätze genügen für das Folgende. Doch 

 füge ich hier noch das Folgende hinzu. Eine jede fünglied- 

 rige lineare Gruppe, die die unendlich entfernte Gerade inva- 

 riant lässt, und dabei ihre Punkte dreigliedrig transformirt, 

 enthält drei Transformationen der Form 



Hj^ = xq + A^p + B-^^q+ C^ {xp + yq) 

 H^^yp + A^p + B^q+C^ {xp + yq), 



