410 Sophus Lie. 



und jedenfalls eine von der Form 



Lp + Mq 



Nun ist 



iH^n,) = LC,p-h{L + MÖ,)q. 



Enthält daher unsere Gruppe nur eine Transformation der 

 Form Lp + Mq, so muss 



LÖ,=pL 



L + MC^ -pM, 

 woraus folgt, dass 



L = 



sein muss. In entsprechender Weise erkennt man durch Bil- 

 dung- des Ausdrucks (11^ H.^), indem man fortwährend annimmt, 

 dass die Gruppe cur eine Transformation der Form Lp + Mq 

 enthält, dass M=^ ist, womit wir indess auf Contradictio 

 geführt sind. Also muss die Gruppe zwei Transformationen 

 der Form Lp + Mq enthalten, so dass sowohl p wie q der 

 Gruppe angehört. Daher kann man 



setzen. Indem man darnach die Ausdrücke (H^ jB,^) i^i ^s) 

 (fl'2 H^) bildet, erkennt man dass C^ = 0.^ = 0^ = ist. Also 



Satz 5. Die Gruppe xq, œp — yq, yp, p, q ist die einzige 

 fünfgliedrige lineare Gruppe, die die unendlich entfernte Gerade 

 invariant lässt, und welche dabei ihre Punkte dreigliedrig trans- 

 formirt. 



Wir bemerken, dass sowohl die dreigliedrige Gruppe 

 xq, æp — yç, yp, wie die viergliedrige Gruppe æq. æp, yq, yp 

 Origo invariant lassen. Also 



Satz 6. Transformirt eine dreigliedrige oder viergliedrige 

 lineare Gruppe der Ebene die Punkte einer invarianten Gerade 

 dreigliedrig^ so lässt die Gruppe zugleich einen ausser der Ge- 

 rade gelegenen Punkt invari tnt. 



17. Wir wenden uns nun wieder zu Betrachtung einer 



