Theorie der Transformations-Gruppen. 411 



beliebigen Gruppe G in der Ebene, die nicht in eine Gruppe 

 von Pit«fc^-Transformationen umgewandelt werden kann. Wir 

 interpretiren wie früher œ y p als Punkt-Coordinaten eines 

 dreifach ausgedehnten Raumes. Diejenigen Transformationen, 

 die ein arbiträr gewähltes Werhtsystem œ, y, p invariant las- 

 sen, transformiren die hindurchgehenden Richtungen dx dy dp 

 durch ,eine lineare Gruppe, die die Ebene des Büschels 

 dy -~ p div = invariant lässt und dabei die Richtungen des 

 Büschels dreigliedrig transformirt. Also zeigen die Entwickelun- 

 gen der vorangehenden Nummer, dass die betreffende lineare 

 Gruppe, wenn sie nicht mehr als 4 Parameter enthält, zugleich 

 eine ausser der invarianten Ebene gelegene Richtung inva- 

 riant lässt. Hat sie aber mehr als 4 Parameter, so enthält 

 die vorgelegte Gruppe G jedenfalls 8 Parameter. 



Hat daher Gr nur S — q Parameter, so existirt immer eine 

 bei der Gruppe invariante Gleichung 



^^/ + y^Z + p'^/^O 

 • dx dy dp ' 



wo JT, Y, P gewisse Funktionen von x, y, p sind. Ich inte- 

 grire das simultane System 



dx dy dp 



durch die beiden Gleichungen 



/(a?2/p) = a = Const. 



q) {xy p) = 6 = Const., 



die ^<;- Curven im Räume {x y p) bestimmen. Diese Curven- 

 Schaar bleibt eo ipso bei der Gruppe invariant. Hierbei wer- 

 den die Curven der Schaar unter sich vertauscht und zwar 

 vermöge einer Gruppe G die höchstens 7 Parameter enthält. 

 Früher (Bd. 3, pg. 12Ô) haben wir aber gesehen, dass jede 

 (7 — r)-gliedrige Gruppe einer zioej/acA-ausgedehnten Punkt- 

 Mannigfaltigkeit eine (7 — r — l)gliedrige Untergruppe be- 



