412 • Sophus Lie. 



sitzt. Hieraus schliessen wir, dass die (8 — g')-gliedrige Gruppe 

 G eine (8 — q — l)-gliedrige Untergruppe besitzt. 



Also enthält die (8 — g)-gliedrige Gruppe G jedenfalls 

 eine fünfgliedrige Untergruppe, die bekanntlich (Satz 2) in 

 eine Gruppe von Punkt-Transformationen umgewandelt wer- 

 den kann. 



Ist auf der anderen Seite eine Gruppe mit 8 oder meh- 

 reren etwa 8 + g Parametern vorgelegt, so bilden diejenigen 

 Transformationen derselben, die ein beliebig gewähltes Werth- 

 System invariant lassen, eine Untergruppe mit höchstens 

 8 -H g' — 3 Parameter. Durch fortgesetzte Anwendung dieser 

 Operation erhält man jedenfalls zuletzt eine Gruppe mit mehr 

 als 4 und weniger als 8 Parameter. Da nun aber eine sol- 

 che Gruppe nach dem Vorangehenden immer eine fünfglie- 

 drign Untergruppe enthält, so können wir den folgenden wich- 

 tigen Satz aussprechen 



Satz 7. Kann eine Gruppe von Berühi'tmgs- Trans formatio- 

 nen in der Ebene, nicht selbst in eine Gruppe von Punkt- Trans- , 

 formationen übergehen, so enthält sie jedenfalls eine Untergruppe 

 mit b + q Parametern, die in eine Gruppe von Punkt- Trans- 

 formationen übergehen kann. 



§ 6- 



Bestimmung derjenigen Grnppen, die eine vorgelegte 

 Gruppe umfassen. 



18. Wenn man wünscht alle Gruppen von Berührungs- 

 Transformationen einer Ebene zu bestimmen, kann man zwei 

 Wege, einen direkten, und einen indirekten wählen. 



Im ersten Falle wendet man eine Methode an, die mit 

 der in dem vorangehenden Abschnitte benutzten genau ver- 

 wandt ist. Man bestimmt zuerst die in der Gruppe enthalte- 

 nen Transformationen 1. 0., wobei nach dem vorangehenden 

 Paragraphen vier wesentlich verschiedene Fälle eintreten kön- 



