414 Sophus Lie. 



eine Gruppe Gr vorgelegt ist, die allgemeinste Gruppe Or+m 

 findet, die Gr umfasst, und welche dabei keine Untergruppe 

 (?r + a enthält, die ebenso G^ umfasst. 



19. Sei H^ . . . Hq. . . Hr die vorgelegte Gruppe Or, und 

 lass mich voraussetzen, dass die q ersten Transformationen 

 H^ . . . Hq eine Untergruppe bilden, und dabei durch Kelatio- 

 nen der einfachen Form 



(Hi - k Hi) = A.^ H^ + A 2 H.2 + . . . Ai _ k -Hi - k 

 i<q 

 verknüpft sind. Sei 



H^ . . . Hq . . Ht Hr + 1 . . . Hv 



eine beliebige Gruppe, die Gr umfasst. Und sei überhaupt 

 (Hi Hk) = 2 Ciks ^s- 



s 



Bilde ich nun die Ausdrücke 



s = V i = V ^y 



Ak/= 2 2 Ckisai — 



s = 1 i = 1 das 



SO ist bekanntlich 



(AgA^) = 2 Cgi^sAsf. 



s 



Ich setze 



s = V i = V ff f 



B^f= 2 2 Cki,ai -/- (lc=l...q) 

 s=r+ii=i aas 



und bemerke dabei, dass Ckis immer verschwindet, wenn 



fc<:;r + l,5>r,i<;»' + l; 

 also kommt 



S^ V 1 = V 



.Bu/= 2 2 CkisO'ij— • (fc=l...g) 



s = r + li = r + l O-iXs 



Nun ist klar, dass 



(Bg Bb.) = 2 Cgk8 Bsf 

 dass also 



(5i_k-Bi) = Ci_k, i, 1 -Bi + ... + Ci_k,i,i-k-Bi-k, 



