430 Sophus Lie. 



28. Enthält eine Gruppe von Bertihrungs-Transformatio- 

 nen eine Untergruppe von der Form 



X^q...X^q.. . X.qyq, 

 so giebt es, da 



(^k q, yq) = X^q 



ist, jedenfalls eine Berührungs-Transformation K, die r Rela- 

 tionen der Form 



[Xi q, K) = ^ «ik X^,q= a-, {(V) q 



erfüllt. Durch Ausführung kommt 



dK „ dK r\ f \ 



(i=l,2,3,4,...r) 

 woraus hervorgeht, dass 



dp ' . ^ 



und 



X = Ø(æ)p + F(æy) q 



ist. Also ist K eine Punkt-Transformation 



29. Enthält eine Gruppe von Berührungs-Transformatio- 

 nen eine Untergruppe der Form 



X^q...X^q ...X,q,p 



so giebt es jedenfalls eine Transformation K, die vier Rela- 

 tionen der Form 



(^i q, K) ^ n, {æ) q + a,p + ß,K 

 erfüllt. Daher giebt es jedenfalls zwei Relationen der Form 



( JTk q, K) = ßk {æ) q 

 oder der aequivalenten Form 





woraus folgt, dass 



