Theorie der Transformations-Gruppen. 455 



W = æz^ + 2y z. 

 Die transformirte Schaar 



y =/(^) — « (^^^ + 2yz) 



oder 



y = {A + 2sAB) + æ{B + EB^+4:eAC) 



+ x'^{C + 2eBG) 



ist mit der vorgelegten identisch. 

 10) Sei endlich 



W = x^ z'^ + 4txyz + 4«/2. 

 Die transformirte Schaar 



y =/(*) — « ('^^ ^^ + 4^72/ 2; + 43/^*) 

 erhält durch Ausführung die Gleichungsform 



y = A — 4:s A^ + {B — 4:£ AB) X + {C - E B^) x"^ 

 und ist somit mit der vorgelegten Schaar identisch. 



Hiermit ist wirklich nachgewiesen, dass die Curven- 

 Schaar y = A + Bx + Cx^ durch die Transformationen unserer 

 zehngliedrigen Gruppe invariant bleibt. 



42. Man kann sich die Aufgabe stellen, überhaupt die- 

 jenigen Curven-Schaaren zu bestimmen, die durch eine vorge- 

 legte Gruppe invariant bleiben. Bei einer anderen Gelegen- 

 heit werde ich auf diese Frage, die für die Theorie der Dif- 

 ferential-Gleichungen von Wichtigkeit ist, die ich übrigens 

 schon längst angeregt habe, näher eingehen. Hier beschräncke 

 sich mich auf die folgenden Bemerkungen. 



Dass die Gruppe 



