456 Sophus Lie. 



q œq œ^q p æp^— 



keine zweifach unendliche Curven-Schaar invariant lässt, liegt 

 schon darin, dass die Gruppe nicht in eine Gruppe von Punkt- 

 Transformationen übergehen kann. 



Lass mich versuchen, die allgemeinste dreifach unendliche 

 Curvenschaar, die bei der sechsgliedrigen Gruppe invariant 

 bleibt, zu bestimmen. Sei 



eine Curve der Schaar. Auf dieselbe führe ich die inf. Trans- 

 formation 



XQq + X^ æq + X2 ^^Ç.'^^yÇ. 



aus. Hierdurch erhalte ich die benachbarte Curve 



y ^fi^) ~ * (^0 + Aj a? + Ag Ä?^ + Xy) 



deren Gleichung ich folgendermassen schreibe 



1 6 



^ '' 1 +TÀ-^ ^^^ ~ T+7X (^0 + Ai a? + Aa æ^) 



oder indem ich 



bXq = jWo bX = JA 



setze : 



1 1 



Es ist klar, dass die letzte Gleichung immer eine Curve 

 der Schaar darstellt, welche Werthe auch die Parameter jjit, 

 besitzen mögen. Nun aber enthält die letzte Gleichung vier 

 Parameter, während die Curven-Schaar nur od^ Curven ent- 

 halten soll. Daher schliessen wir dass es jedesmal unendlich 

 viele Werth-System /ik giebt, die dieselbe Curve darstellen. 



Bezeichne ich mit /ik und jw'k zwei solche aequivalente 

 Werth-Systeme so ist 



