Theorie der Transformations-Gruppen. 457 



woraus mit Notwendigkeit folgt, dass / {æ) die Form 

 A + Bæ + Gæ'^' besitzt. Also 



Satz 21. Die Curven-Schaar 



7/ = A + Bæ + Cæ'^ 



ist die einzige dreifach unendliche Curven-Schaar, die bei der 

 Gruppe qooqx"^ qyq invariant bleibt. 



Gorollar. Die Curven-Schaar y = A + Bæ + Cæ"^ ist zu- 

 gleich die einzige dreifach unendliche Curven-Schaar, die mög- 

 licherweise invariant bleibt bei einer Gruppe, die eine invariante 

 Untergruppe der Form q,æq,æ'^qyq besitzt. 



43. Ich werde jetzt die allgemeinste vierfach unendliche 

 Curven-Schaar bestimmen, die bei der Gruppe 



q xq x'^q yq p 

 invariant bleibt. Sei 



y-fiai) 



eine Curve der Schaar. Dieselbe geht durch die infinitesi- 

 male Transformation 



XQq-¥\^æq + X^ x'^q + \.^yq-\-X^p 



über in eine Curve mit der Gleichungsform 



y = afix) + ß^ + ß^x+ /?2 æ'' + y f (x) 



Soll daher die Curven-Schaar nur >o* Curven enthalten, so muss 

 eine Relation der Form 



bestehen. Hiernach findet man f{x) durch Integration dieser 

 linearen Differential-Gleichung. 



