Untersuchungen über Transformationsgruppen I. 79 
Ich werde diejenigen synthetischen Betrachtungen, die mich 
urspriinglich die vorangehenden Resultate lieferten, kiirzlich 
andeuten. 
5. Ist eine Gruppe X,q... X:9p + nq vorgelegt, so bil- 
den die X,g eine invariante Untergruppe, deren co'—! inf. 
Transformationen 2a; X;9 eine homogene r-fach ausgedehnte 
Mannigfaltigkeit!), die bei der vorgelegten (r+1) - glie- 
drigen Gruppe linear transformirt wird. Da indess die Xig 
paarweise vertauschbar sind, so wird unsere homogene Mannig- 
faltigkeit nur durch eine einzige inf. Transformation nämlich 
p+ng in sich transformirt. Wenn indess auf eine Mannig- 
faltigkeit eine inf. lineare Transformation ausgeführt wird, so 
giebt es unter den Punkten dieser Mannigfaltigkeit jedenfalls 
ein invarianter. Die durch einen invarianten Punkt gehenden 
' Geraden (d. h. einfach ausgedehnten ebenen Mannigfaltigkei- 
ten) bilden eine (r—1)-fach ausgedehnte homogene Mannig- 
faltigkeit, die ihrerseits durch unsere inf. Transformation 
linear transformirt wird. Also geht durch jeden invarianten 
Punkt jedenfalls eine invariante Gerade. Die durch eine solche 
invariante Gerade gehenden Ebenen (d. h. zweifach ausge- 
dehnten ebenen Mannigfaltigkeiten) bilden eine (r—2)-fach 
ausgedehnte homogene Mannigfaltigkeit, die selbst linear trans- 
formirt wird. Daher. geht durch jede invariante Gerade eine 
invariante Ebene u.s.w. 
Wir wenden jetzt diese allgemeinen Sätze auf die homo- 
gene Mannigfaltigkeit Sa, Xx9, die durch die inf. Transfor- 
mation p +79 linear transformirt wird, an. Es giebt, schlies- 
sen wir, jedenfalls ein invarianter Punkt, d. h. eine invari- 
ante inf. Transformation. Wir können annehmen, dass-X,q 
eine solche invariante Transformation ist, das also eine Rela- 
1) Bei Untersuchungen über Gruppen ist es überhaupt nützlich die inf. 
Transformationen Sax Bxf als eine homogene Mannigfaltigkeit zu be- 
trachten, die durch eine lineare Gruppe transformirt wird. 
