Untersuchungen über Transformationsgruppen I. 81 
inf. Transformationen P offenbar eine invariante Untergruppe 
bestimmt. 
Wenn aber eine Mannigfaltigkeit durch die beiden line- 
aren inf. Transformationen P und XP (unter denen die erste 
invariant ist) transformirt wird, so giebt es, werden wir zei- 
gen, jedenfalls ein absolut invarianter Punkt. Denn es giebt 
nach dem Vorangehenden ein oder mehrere Punkte, die ge- 
gentiber P invariant bleiben. Alle unter diesen Punkten, die 
vereinzelt liegen, bleiben offenbar bei jeder inf. Transformatiou 
der Gruppe P, XP invariant. Bildet der Inbegriff von allen 
bei der inf. Transformation P invarianten Punkten eine con- 
‘tinuirliche und zwar eine ebene Mannigfaltigkeit M, so 
bleibt diese Mannigfaltigkeit M bei der infinitesimalen Trans- 
formation XP invariant, während allerdings ihre Punkte 
linear transformirt werden. Dabei enthält M sicher ein ~ 
bei XP invarianter Punkt, der dann selbstverständlicher- 
weise gleichzeitig bei einer jeden inf. Transformation der 
Gruppe P, XP ihre Lage behält. Wird daher eine Mannig- 
faltigkeit durch eine zweigliedrige lineare Gruppe P, XP (mit 
der invarianten inf. Transformation-P) transformirt, so giebt 
es jedenfalls ein absolut invarianter Punkt. Die durch einen 
solchen invarianten Punkt gehenden Geraden werden hiernach 
durch die zweigliedrige Gruppe P, XP linear transformirt. 
Also geht durch jeden bei der Gruppe P, X P invarianten Punkt 
jedenfalls eine invariante Gerade. Ebenfalls erkennen wir, 
dass jede invariante Gerade jedenfalls eine invariante Ebene 
enthält u. 8. w. 
Wenden wir diese allgemeine Sätze an auf die homogene 
Mannigfaltigkeit Sa, Xxq, die durch die beiden inf. Trans- 
formationen p + 7,9, æp +ng linear transformirt wird, so er- 
kennen wir wie in der vorangehenden Nummer, dass die Xxq 
immer in solcher Weise gewählt werden können, dass für 
jedes k Relationen der Form 
(P + 7095 Xuq) = Ck X17 + Cho Agg +... + Cex kg 
(xp + 79, Xxq) = dx, Xıq +....¢dix Akg 
Arkiv for Mathematik og Naturv. 10. B. 6 
Trykt den 10de September 1884. 
