88 Sophus Lie. 
und setze 
3 ai 3 omr = 0 
so erhalte ich, wenn diese Relation nicht zufälligerweise iden- 
tisch besteht, 0" inf. Transformationen Bf, welche diese 
Forderung erfüllen. Die hierdurch bestimmten =' inf. Trans- 
formationen bilden, behaupte ich, immer eine invariante (n—1) 
gliedrige Untergruppe. 
Ich werde einen synthetischen Beweis dieses Satzes an- 
deuten. Ich beschränke mich dabei auf den Falln=2. Die 
beiden entsprechenden inf. Transformationen seien 
Af- rd, Bf- gs Zr 
Die inf. Transformation Af I jedem Punkte x y die inf. 
Strecke Xöt, Y Ôt zu, und ebenfalls ordnet Bf dem Punkte 
xy die Strecke &6t, 7 6t zu. Diese beiden Strecken bestim- 
men ein infinitesimales Parallelogram. Jedem Punkte der 
Ebene ist somit ein inf. Parallelogram zugeordnet. Ich denke 
mich nun den Mass des Flächeninhalts derart gewählt, dass 
alle diese Parallogramme einander gleich sind 
Dies vorausgesetzt nehme ich statt Af und Bf zwei an- 
dere inf. Transformationen unserer Gruppe etwa 
a, A/+ß, Bf, a, Af+ ß, Bf 
und construire wiederum für jeden Punkt xy das zugeordnete 
inf. Parallelogram. Dann werden wiederum alle diese Paral- 
lelogramme nach dem eingeführten Maasstabe einander gleich, und 
zwar gleich den früher construirten multiplicirt mit a, 8, — a, fh, 
Ich betrachte wiederum alle x? inf. Parallelogramme, 
die Af und Bf entsprechen. Führe ich nun auf alle Punkte 
„der Ebene eine gewisse inf. Transformation unserer Gruppe 
aus, so werden alle soeben besprochenen inf. Parallelogramme 
inf. verschoben, und gleichzeitig, der Formel (L) zufolge, 
nach constantem Verhältnisse geändert. Nehme ich insbe- 
sondere alle inf. Transformationen der Gruppe, die den Flä- 
