92 Sophus Lie. 
In ganz aehnlicher Weise verfährt man nun immer, wenn 
man eine beliebige vorgelegte canonische Gruppe in allge- 
meinster Weise in eine projectivische umwandeln wünscht. 
Man bestimmt zuerst die allgemeinste bei der vorgelegten 
canonischen Gruppe invariante Differentialgleichung zweiter 
Ordnung y“ — F(æyy')=0; diese Bestimmung geht übrigens 
ohne weiter aus meiner Abhandlung Classification und Inte- 
gration .... I, diese Zeitschrift, Bd. 9, p. 137 hervor. Hier- 
nach entscheidet man nach der in diesem Arshive Bd. 9, p, 
.... gegebenen Regeln, ob y= F(æy y') durch eine Punkt- 
transformation die Form y"”=0 erhalten kann, was jedenfalls 
nur eintreten kann, wenn F eine ganze Funktion von y' von 
höchstens dritter Ordnung ist. Darnach bestimmt man, was 
keine Schwierigkeit darbietet, neue Variabeln y, = Y(æy), 
a, = X(xy), in denen y*— F=0 die Form y"=0 annimmt; 
und zwar genügt es nach dem Obenstehenden ein specielles 
Variabelsystem y, x, zu finden, in denen y’ — F= 0 die Form 
y,"=0 annimmt. In diesen neuen Variabeln wird die vor- 
gelegte canonische Gruppe eine projectivische Gruppe. Und 
nach dem Obenstehenden erhält man in dieser Weise alle 
projectivische Gruppen, in die sich die vorgelegte trans- 
formiren lässt. 
2. Die Durchführung dieser Theorie wird bedeutend er- 
leichtert durch den folgenden (bekannten) Satz. 
Es giebt keine projectivische Gruppe von vertauschbaren 
Transformationen einer Ebene, die mehr als zwei inf. Trans- 
formationen enthält. 
Beweis. Es ist zunäehst bekannt, dass eine r-gliedrige 
Gruppe der Ebene mit mehr als zwei vertauschbaren inf. Trans- 
formationen B,f..- B,f die ‘canonische Form Xx(æ)q besitzen 
muss. Und diejenige Differentialgleichung zweiter Ordnung 
flæyy'y")=0, die eine solche Gruppe gestattet, befriedrigt 
die k Gleichungen 
