Untersuchungen uber Transformationsgruppen I. 93 
af ‚af AL 
ae x Xx dy’ + Xx dy" 0, 
und also ist r nicht grösser als 2. 
Unter den unendlich vielen von mir bestimmten canoni- 
schen Transformationsgruppen einer Ebene ist es somit nur 
eine sehr begrenzte Anzahl, die wir discuttiren brauchen. : 
Es giebt nach meinen früher eitirten Arbeiten keine Gruppe 
von Punkttransformationen mit mehr als 8 inf. Transforma- 
tionen, die eine Differentialgleichung zweiter Ordnung y"— F=0 
invariant lässt. Die einzigen Gruppen mit mehr als vier inf. 
Transformationen, die eine Gleichung y“—F=0 invariant 
lassen, sind die fünf folgenden 
Pq cp xq yp yy xp +2Y9, ayp + Y*q (I) 
PI xp xy yp YI (U) 
q GI YG D ap wp + ayy (III) 
P 9 ag yp ap—yg (IV) 
Q æq p 2æp + yq xp + 2y9 een CV) 
Pq 24 yq ap (VD) 
und zwar giebt es in jedem unter diesen fünf Fällen nur 
eine einzige solche invariante Gleichung nämlich y"=0. Die 
aufgestellten 5 Gruppen sind somit (wie bekannt) projectivi- 
sche Gruppen und sie gehen überdies durch keine transcen- 
dente (d. h. nicht projectivische) Transformation wiederum in 
projectivische Gruppen über !) 
Um alle viergliedrige projectivische Gruppen zu finden 
müssen wir successiv die folgenden canonischen Gruppen nach 
den oben angegebenen Regeln discuttiren. 
') Die Gruppe (I) ist bekanntlich einfach. Die Gruppen (II) und (III) 
sind dualistische Gruppen; dasselbe ist mit (IV) und (V) der Fall. Die 
Gruppe (VI) geht in sich durch eine dualistische Transformation über 
Die Gruppe II enthält nur zwei invariante Untergruppen nämlich (IV) 
und p q. Die Gruppe IV enthält die einzige inv. Untergruppe p q. 
Diese Sätze sind sehr specielle Fälle von Sätzen über allgemeine lineare 
Gruppen, die ich früher aufgestellt, und überdies längst verwerthet habe 
