Untersuchungen über Transformationsgruppen I. 97 
und (VIII) gehen in einander durch eine dualistische Trans- 
formation über; dagegen kann eine jede unter den Gruppen 
(IX) und (X) in sich durch eine dualistische Transformation 
übergeführt werden; wobei doch zu bemerken ist, dass das 
Verhältniss m: n gleichzeitig geändert wird. 
Eine jede unter unseren vier Gruppen ist zusammenge- 
setzt, und enthält jedenfalls eine invariante dreigliedrige Un- 
tergruppe (was übrigens, wie ich schon in 1873 bemerkte mit 
einer jeden viergliedrigen Gruppe der Fall ist). Die Gruppe 
(VIII) enthält einfach unendlich viele invariante dreigliedrige 
Untergruppen, welche sämmtlich die Form 
Pq map + nyq 
haben; drei invariante zweigliedrige Untergruppen 
P: 9; P, TPs % YI 
und zwei invariante eingliedrige Untergruppen: p und q.') 
Die Gruppe (X) enthält eine invariante dreigliedrige Un- 
tergruppe, und eine invariante eingliedrige Untergruppe. Den- 
ken wir uns die Gruppe auf die Form æ9, xp-yq, yp, «p+ yq 
gebracht, so liefert sie alle homogene und lineare Transfor- 
mationen der Mannigfaltigkeit æ y. Die drei inf. Transfor- 
mationen xq, zp-yq, yp bilden die invariante dreigliedrige 
Untergruppe; die inf. Transformation ap +yq liefert die in- 
variante eingliedrige Gruppe. ”) 
1) Interpretirt man alle inf. Transformationen der Gruppe g, yg, p, xp als 
die Punkte des Raumes, so werden die drei invariante Gruppen p, xp; 
9, yq; pq, dargestellt durch zwei Gerade (g, 9,), die eine dritte Gerade 
g schneiden. Alle «>? Gerade welche auf einmal g, 7, treffen, stellen 
zweigliedrige Untergruppen dar; alle Gerade, die durch den Punkt p 
oder den Punkt g gehen, stellen ebenfalls zweigliedrige Untergruppen dar 
CIC: Derartige Vorstellungen, die besonders wenn man eine Hülf- 
figur zeichnet, aüsserst bequem sind, benutzte ich im grossen Maasstabe 
bei meinen Untersuchungen in den Jahren 1873—77. 
Interpretirt man alle inf. Transformationen unserer Gruppe als die 
Punkte des Raumes, so liefern alle ©! inf. Transformationen der Form 
æg + A(æp—yq)-- A2yp mit dem Parameter A einen invarianten 
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Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 10 B. 7 
Trykt den 17de September 1884. 
