102 Sophus Lie. 
dehnung, auf meine allgemeine Transformationstheorie der 
Ebene. 
Wenn eine Gruppe von Transformationen keine Curven- 
schaar @ (xy) =a invariant lässt, so ist sie nach mir reduc- 
tibel auf eine unter den drei Formen 
D, I, LQ, LP, YI, YP, vp + xyq, zyp + y7q, 
Ps 9, 29, XP, YI, YP, 
P, 9, 24, CP—Yq, Yp- 
Dabei sehe ich wie früher ein, nicht allein, dass diese Grup- 
pen projectivische Gruppen sind, sondern zugleich, dass sie 
durch keine nicht-projectivische Transformation in projecti- 
vische Gruppen übergeführt werden können. 
Wenn eine r-gliedrige projectivische Gruppe eine Cur- 
venschaar @ (xy) = a invariant lässt, so gestattet jede einzelne 
Curve @ =a, jedenfalls &'-! projectivische Transformationen 
und gehört somit, wenn r > 1 ist, einer von Klein und mir 
untersuchten Curvencategorie.!) Ist r>2,so ist jede Curve 
p = a bekanntlich ein Kegelschnitt oder eine Gerade. 
Es lässt sich nun beweisen, dass jede r-gliedrige Gruppe, 
die eine Curvenschaar @ =a invariant lässt, entweder einen 
Kegelschnitt oder eine Gerade oder einen Punkt invariant 
lassen muss. 
Ist zunächst r=1, so wissen wir, dass die betreffende 
inf. Transformation Bf sicher sowohl einen Punkt wie eine 
Gerade invariant lässt. Ist r= 2, und sind dabei die betref- 
fenden inf. Transformationen B,, B, vertauschbar (d.h. (B, B,) 
=0), so sind zwei Fälle zu berücksichtigen jenachdem 2, 
vereinzelte Punkte invariant lässt [in welchem Falle jeder 
einzelner unter diesen Punkten auch bei B, invariant bleiben 
muss] oder nicht. Im letzten Falle bilden alle bei B, inva- 
riante Punkte eine Gerade, die auch bei B, invariant bleibt 
1) Comptes rendus 1870. 
