Untersuchungen über Transformationsgruppen I. 103 
[diese Gerade enthält übrigens jedenfalls ein bei B, invari- 
anter Punkt]. Sind BP, und 5, nicht vertauschbar, so kön- 
nen wir (B, B,)= DB, setzen. Alsdann lehrt ein ganz iden- 
tisches Räsonnement, dass die betreffende Gruppe sicher ei- 
nen Punkt (und zugleich eine Gerade) invariant lässt. 
Ist r>2, so sind, sahen wir, die früher besprochenen 
Curven p= a entweder Kegelschnitte oder auch Gerade. Da- 
_ bei ist sicher, dass alle Curven x eine Umhiillungsfigur be- 
stimmen, und es ist ferner sicher, dass diese Figur die Gruppe 
gestattet. Ist sie eine Curve, so muss sie ein Kegelschnitt 
oder eine Gerade sein; in allen anderen Fällen ist sie ein 
Punkt. 
Wenn daher eine projectivische Gruppe eine Curvenschaar 
p (xy) = a invariant lässt, so besteht sie entweder aus allen ° 
projectivischen Transformationen eines Kegelschnitts oder auch 
lässt sie eine Gerade oder einen Punkt invariant. 
Da nun jede projectivische Gruppe, die einen Punkt in- 
variant lässt, durch eine dualistische Umformung eine projec- 
tivische Gruppe liefert, die eine Gerade invariant lässt, so 
ist unser Problem darauf zurückgeführt, alle projectivische Grup- 
pen zu finden, die eine Gerade invariant lassen. Anders aus- 
gesprochen, es genügt alle Untergruppen von der bekannten 
projectivischen Gruppe 
Pq x9 ep YI YP, 
welche die unendlich entfernte Gerade invariant lässt, zu be- 
stimmen, 
Hierbei kann ich nun nach meinen früheren Untersu- 
chungen (Bd. 3, p. 408—410) alle derartige Untergruppen, die 
keinen unendlich entfernten Punkt invariant lassen, hinschrei- 
ben. Sie sind und zwar durch eine projectivische Umformung 
reductibel auf eine unter den Formen !) 
*) Eine ganz analoge Betrachtung giebt alle projectivische Gruppen eines 
n-fach ausgedehnten Raumes &, &,...xn, welche die unendlich entfernte 
