Untersuchungen über Transformationsgruppen I. 113 
Ich betrachte daher diese letzte Categorie von projectivischen 
Gruppen als bekannt. Sehe ich dabei von dem Falle, dass 
die invariante Raumfigur eine Ebene, eine Gerade oder ein 
Punkt ist, weg,so kann ich überdies alle zugehörigen Unter- 
gruppen als bekannt betrachten. Denn die Bestimmung von 
allen projectivischen Gruppen, die eine Fläche zweiten Gra- 
des oder eine Curve dritter Ordnung ın sich überführen, 
liegt gradezu in meinen alten Arbeiten aus 1874. Alle pro- 
jeetivische Gruppen, die eine ebene Curve invariant lassen, 
werden (durch Benutzung von bekannten Untersuchungen des 
Herrn ©. Jordan) leicht aufgestellt; und diejenigen Gruppen, 
die eine Cayleysche Linieflåche 3.0. in sich überführen, kön- 
nen ebenfalls ohne weiter angegeben werden. Was endlich 
diejenigen Gruppen betrifft, die einen Kegel invariant lassen, 
so brauchen wir sie nicht hier näher!zu betrachten, da sie ei- 
nen Punkt, die betreffende Kegelspitze, invariant lassen. 
Ich gehe zur allgemeinen Discussion von allen projecti- 
vischen Gruppen über. Sei also vorgelegt eine beliebige der- 
artige Gruppe G,. Halte ich einen Punkt p des Raumes fest, 
so werden die hindurchgehenden Richtungen dæ dy dz, die 
eine zweifach ausgedehnte homogene Mannigfaltigkeit bilden 
durch eine lineare Gruppe g, dieser Mannigfaltigkeit trans- 
formirt. Hat dabei g, acht (oder neun) Parameter, so ist G, 
nach einem bekannten Satze von mir jedenfalls aehnlich ent- 
weder mit der allgemeinen projectivischen Gruppe G,, oder 
mit einer Untergruppe derselben mit 11 oder 12 Parameter, 
die eine Ebene invariant lässt. Und im vorliegenden Falle 
übersieht man leicht und zwar z. B. durch Betrachtung des 
(allgemeinsten) zugehörigen invarianten Gleichungssystems 
(A), dass diese Aehnlichkeit durch eine projectivische Trans- 
formation vermittellt wird. 
Wir können also annehmen, dass g, weniger als acht 
Parameter enthält. Folglich bilden die durch den festgehal- 
tenen Punkt p gehenden Richtungen jedenfalls eine gewisse 
Arkiv for Mathematik og Naturv. 10. B. 8 
Trykt den 30te September 1-84. 
