114 Sophus Lie. 
invariante Figur und zwar entweder einen elementaren Kegel 
zweiten Grades, oder eine elementare Ebene, oder auch giebt 
es jedenfalls eine invariante Richtung. — Wir formuliren dieses 
bekannte Resultat folgendermassen: 
Nimmt man unter den Transformationen einer (projectivi- 
schen) Gruppe G, alle, die einen arbiträren Punkt invariant las- 
sen, so werden die hindurchgehenden Richtungen durch eine 
lineare Gruppe 9, transformirt. Hat g, acht oder neun Pa- 
rameter, so ist G, durch] eine (projectivische) Umformung aehn- 
lich entweder mit der allgemeinen projectivischen Gruppe des 
Raumes oder mit der pr. Gruppe, welche die unendlich entfernte 
Ebene invariant lässt oder endlich mit derjenigen pr. Gruppe, 
die alle Volumina nicht aendert. In allen übrigen Fällen 
lässt G, entweder eine Gleichung 
a dæ? + Bdy? + yde? +21 dx dy + 2u dæ dz + 2v dydz=0 (B) 
deren Coeficienten a ...v von æ y z abhängen oder eine lineare 
. Gleichung 
X(æy) dæ + Ydx + Zdz=0 
oder endlich ein simultanes System 
aan: 
DET ANZ 
invariant. 
Lass uns zunächst alle pr. Gruppen betrachten, die eine 
Gleichung (B) vom zweiten Grade in dw dy dz invariant las- 
sen. Dabei können wir annehmen, dass die Determinante 
| 
a Åp 
= ile ey 2 
PE 
nicht identiseh verschwindet, indem sonst eine lineare invari. 
ante Gleichung Xdx + Y dy + Zdz=0 existirte. Die Glei- 
chung À = 0 bestimmt somit eine bei der vorgelegten Gruppe 
invariante Flåche, den Ort nåmlich aller Punkte, deren zuge- 
