116 Sophus Lie. 
antes simultanes System (C) gäben, was ausgeschlossen ist. 
Wenn aber eine Gruppe eine Schaar von +1 Ebenen invariant 
lässt so führt sie die von diesen Ebenen umhüllte Figur in 
sich über. Diese Umhüllungsfigur ist übrigens nach den vor- 
angehenden Voraussetzungen sicher eine Gerade; wäre sie 
nämlich eine Developpable, so existirte eine invariante Schaar 
von ©? Geraden. 
Lässt eine pr. Gruppe G, eine Schaar von ~? Curven 
invariant und ist dabei, wie wir annehmen werden, r 7 3, so 
gestattet jede solche Curve sicher zwei inf. projectivische Trans- 
formationen und ist daher nach Kleins und meinen alten Un- 
tersuchungen eine Curve dritter Ordnung, eine ebene Curve 
oder eine Gerade. Führt eine pr. Gruppe eine Schaar von 
co? (Geraden in sich über, so bleibt offenbar auch die zu- 
gehörige Brennfigur invariant. Existirt andererseits eine in- 
variante Schaar von x? ebenen Curven, so umhüllen die 
Ebenen dieser Curven eine invariante Raumfigur. Existirt end- 
lich eine invariante Schaar von 0? Curven dritter Ordnung, 
so werden wir zunächst annehmen, dass diese Curven eine 
invariante Flächenschaar pm = Const. erzeugen. Jede Fläche 
p=a gestattet dann r— 1, also jedenfalls drei inf. pr. Trans- 
formationen, und ist somit sicher eine Regelfläche; in diesem 
Falle existirte somit eine invariante Schaar von =>? Geraden 
und gleichzeitig eine invariante Brennfigur. Es bleibt also 
nur übrig die Annahme, dass die >? Curven 3. O. keine in- 
variante Flächenschaar @ = a liefern!). Danun r nicht grös- 
ser als 5 sein kann, indem eine Curve 3. O. nicht mehr als ~ 
drei inf. pr. Transformationen gestattet, so lässt sich schlies- 
sen, dass unsere Gruppe mit der Gruppe 
P, 9, 29, VP —Y9, YP 
gleichzusammengesetzt ist und somit eine invariante zwei- 
gliedrige Untergruppe enthält. Auch in diesem Falle existirte 
somit eine invariante Raumfigur. 
!) Diese Annahme tritt übrigens nie ein. 
