Untersuchungen über Transformationsgruppen I, 117 
Enthält eine Gruppe weniger als 4 unabhängige inf. Trans- 
formationen, so erkennt man ohne weiteres die Existenz einer 
invarianten Raumfigur. 
Wir erhalten somit den allgemeinen Satz: 
Eine Untergruppe der allgemeinen projectivischen Gruppe 
des Raumes lässt entweder einen linearen Liniencomplex 
oder eine Fläche oder eine Curve oder einen Punkt invariant.!) 
Da wir nun die Bestimmung von allen pr. Gruppen, bei 
denen eine krumme nicht developpable Fläche oder eine krumme 
Curve invariant bleibt, als geleistet betrachten können, so 
bleibt uns nur übrig alle pr. Gruppen zu finden, bei denen 
eine Ebene oder eine Gerade oder ein Punkt seine Lage be- 
hält. Es ist dabei unnothwendig den letzten Fall, dass ein 
Punkt invariant bleibt, zu discutiren, indem alle derartigen 
Gruppen durch eine dualistische Umformung Gruppen, die 
eine Ebene invariant lassen, liefern. y 
Die allgemeinste pr. Gruppe, die eine Ebene und zwar 
die unendlich entfernte Ebene invariant lässt, besitzt die Form 
YP, 2P, Æq, 29, LT, yr, 2P— yq, XP —2r (T) 
D; QT, ap +yg + ar. (6) 
Wir bemerken dabei, dass die acht inf. Transformationen (T) 
eine Untergruppe erzeugen, welche die allgemeinste projecti- 
vische Transformationsgruppe der Punkte der unendlich 
entfernten Ebene liefert. Wir fügen hinzu, dass die vier 
inf. Transformationen (G) gar nicht die Punkte dieser Ebene 
transformiren. Wir erhalten daher ein, naturgemässe Clas- 
e 
sification von allen unseren Gruppen, indem wir jedesmal 
") Wenn eine Gruppe Gr von Punkttransformationen des Raumes z, ... an 
keine Untergruppe mit mehr als »—n Parametern enthält, so giebt es 
keine bei der Gruppe in sich transformirte Raumfigur, die durch % Glei- 
“ chungen. 
Pi (z, ...zu)=0 
definirt wird. Dieser Satz lässt sich selbstverständlich umkehren. 
