Zur Theorie der Transfo: mationsgruppen. 123 
Es steht jetzt nur noch zurück, alle Gruppen des Rau- 
mes, bei denen eine Gerade ihre Lage behält, anfzustellen. 
Alle diese Gruppen sind Untergruppen von der elfglie- 
drigen Gruppe : 
P, 9 2D, 29 (T) 
ap XP — Yq yp (U) 
T, ep + yq + 2zr, x2p + veg + 2?r (V) 
er (W) 
Man sieht, dass die 10 inf. Transformationen T, U, V eine 
invariante Untergruppe mit den invarianten Untergruppen 
(T U) (T V) und (T) bilden Diese elfgliedrige Gruppe ist 
(sieh Math. Ann. Bd. V, p. 186) gleichzusammengesetzt mit 
der Gruppe von allen Aehnlichkeitstransformationen eines 
vierfach ausgedehnten Raumes. Die vier inf. Transformationen 
(T) sind Translationen, die drei int. Transformationen (U) wie 
auch die drei inf. Transformationen V bilden eine Gruppe 
von Rotationen um einen festen Punkt, und diese beiden 
letzten Gruppen liegen in Involution. Endlich die Transfor- 
mation zr ist eine Aehnlichkeittransformation. 
Das Problem alle projectivischen Gruppen des Raumes zu 
bestimmen ist im Vorangehenden reducirt auf die Affindung 
aller pr. Gruppen, die eine Gerade invariant lassen, oder was 
auf dasselbe hinauskommt, auf die Bestimmung aller Gruppen 
von Aehnlichkeitstransformationen eines vierfach ausgedehnten 
Raumes. 
Bei einer späteren Gelegenheit werde ich dieses redu- 
cirte Problem erledigen. Gleichzeitig finde ich alle Unter- 
gruppen der linearen Gruppe 
ope FANE le PE 
1) Nach einer früheren Bemerkung von mir (Math. Ann. Bd. V, p. 186) 
ist die projectivische Gruppe des gewöhnlichen Raumes gleichzusammen- 
gesetzt, ja wenn man will sogar aehnlich mit der Gruppe von allen 
conformen Punkttransformationen eines vierfach ausgedehnten Raumes. 
