124 Sophus Lie. 
Unter denjenigen pr. Gruppen, die eine Gerade invariant 
lassen, verdienen diejenigen eine besondere Aufmerksamkeit, 
bei denen keine Ebene und auch kein Punkt ihre Lage be- 
hält. Hierher gehört die achtgliedrige Gruppe*), die eine spe- 
cielle lineare Congruenz invariant lässt, die siebengliedrige 
Gruppe die einen linearen Liniencomplex und eine Gerade 
desselben invariant lassen, die sechsgliedrige Gruppe, die 
ol einander berührende linearen Complexe sämmtlich in sich 
überführen; anderseits die siebengliedrige Gruppe die eine 
allgemeine lineare Congruenz in sich überführen, und eine 
sechsgliedrige Untergruppe. 
Sn 
Zur allgemeinen Transtormationstheorie des Raumes. 
In den Jahren 1876—77 bestimmte ich durch aüsserst 
weitlaüfige Rechnungen alle Gruppen von Punkttransforma- 
tionen des Raumes, wie ich im ersten und dritten Bande von 
dieser Zeitschrift angekündigt habe. Später (1878) gelang 
es mir diese ganze Berechnung wesentlich zu vereinfachen. 
Ich fand nämlich, dass es möglich war das betreffende Problem. 
a priori, sozusagen ohne Rechnung, in eine grosse Anzahl 
einfachere Probleme zu zerlegen, nämlich in der Weise dass 
man alle mgglichen Gruppen von Punkttransformationen des 
Raumes a priori in eine Reihe wohlbegrenzte Categorien ver- 
theilen könnte. In diesem Paragraphen werde ich dieses 
1) Die achtgliedrige Gruppe des Textes ist durch eine Berührungstrans- 
formation aehnlich mit der Gruppe, die aus allen Aehnlichkeitstrans- 
formationen und Dilatationen des gewöhnlichen Raumes besteht; die 
beiden folgenden Gruppen entsprechende allen Aehnlichkeitstransforma- 
tionen oder allen Bewegungen des Raumes, Die beiden weiteren Gruppen 
des Textes sind aehnlich mit den Gruppen aller Aenlichkeitstransfor- 
mationen oder Bewegungen eines vierfach ausgedehnten Raumes, bei de- 
nen ein endlicher Punkt dieses Raumes ihre Lage behält. 
