Untersuchungen über Transformationsgruppen I. 125 
Classificationsprincip kiirzlich begründen und gleichzeitig ei- 
nige unter meine Categorien erschöpfend discuttiren, indem 
ich ihre Gruppen vollstindig bestimme. 
Ist eine Gruppe G, von Punkttransformationen des Rau- 
mes vorgelegt, so kénnen wir die allgemeinste Untergruppe 
betrachten, deren Transformationen einen Punkt æ y 2 allge- 
meiner Lage invariant lassen. Die durch diesen Punkt hin 
durchgehenden Richtungen dæ dy dz werden durch diese Un- 
tergruppe unter einander vertauscht, und zwar werden sie, 
können wir sagen, durch eine lineare Gruppe gp transformirt 
Ist die Zahl p gleich 8 oder 9, so ist die Zahl v nach einem 
alten Satze von mir gleich 15, 12 oder 11 und dabei ist G, 
aehnlich entweder mit der allgemeinen projectivischen Gruppe 
des Raumes oder mit zwei bekannten projectivischen Gruppen. 
Dieser Satz, der sich anf n Dimensionen ausdehnt, wird 
bewiesen durch eine direkte Verallgemeinerung von meinen 
in Math. Ann. Bd. XVI, gegebenen Entwickelungen. 
Ist die früher besprochene Zahl p kleiner als acht, so - 
lässt die lineare Gruppe gp sicher eine gewisse Figur inva- | 
riant, und zwar entweder eine bestimmte Richtung dæ dy dz 
oder auch den Inbegriff von einfach unendlich vielen derar- 
tigen Richtungen, die eine elementare Ebene oder einen ele- 
mentaren Kegel zweiten Grades bilden. Dementsprechend 
vertheilen sich alle Gruppen G, in mehrere getrennte Clas- 
sen, die wir successiv besprechen werden. 
Lässt die lineare Gruppe gp einen irreductiblen elemen- 
taren Kegel zweiten Grades invariant, so giebt es eine irre- 
ductible Gleichung zweiten Grades 
a dæ” + Bdy* + ydz? + 2ödædy + 2&dydz +. 2 dx dz = 0, 
deren Coeficienten von x y z abhängen, welche die Gruppe 
G, gestattet. 
In diesem Falle lässt G, offenbar eine partielle Diffe- 
rentialgleichung erster Ordnung und zweiten Grades 
