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Untersuchungen über Transformationsgruppen I. 127 
invariante Differentialgleichung 3, O. und interpretire ihre ©? 
Integraleurven als die Punkte des Raumes æ y z. Hierdurch 
erhalte ich eine Gruppe G, von Punkttransformationen dieser 
Raumes, die eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung 
invariant lässt. Ist diese Gleichung vom zweiten Grade, so 
erfüllt die gefunden Gruppe G, die gestellten Forderungen. 
Fügen wir die Beschränkungähinzu, das die Gruppe G, kein 
simultanes System dæ: dy: ds = A: B: C invariant lassen soll 
so muss die Zahl r, wie eine einfacheiBetrachtung zeigt, grös- 
ser als fünf sein. Ausser der drei Gruppen von Berührungs- 
transformationen einer Ebene, die sich nicht in Gruppen von 
Punkttransformationen umwandeln lassen, brauchen wir hier- 
nach nur die folgenden Gruppen von Punkttransformationen 
einer Ebene mit mehr als fünf Parameter zu discuttiren, in- 
dem die übrigen keine Differentialgleichung dritter Ordnung 
invariant lassen: 
9 ag‘, wat, y'q', p', xp (A) 
q', wg’, 20, p, æ'p'+y'q', ap + 2aty'g' (B) 
95 ag‘, 29, p', æ'p' y'a, a? pi + 2aty'g’ (C) 
g', 39,99, pi, ap, wp’ (D) 
Die Gruppe (A) lässt die drifach unendliche Curvenschaar 
y = at ba + ca? 
invariant. Dabei werden die Constanten a, b, c transformirt 
durch die sechs folgenden inf. Transformationen 
df did? tag, dr, df , df, Af fac df 
re TG 
1) Die im Texte gegebenen geometrischen Abbildungen benutzte ich u. A. © 
in 1874 in meiner ersten Note über die allgemeine Theorie der Trans- 
formationsgruppen. Gött. Nachr. Decbr. 1874. Sieh auch z.B. Math. 
Ann. Bd. V, wie ebenfalls Archiv for Math. . . ... » Bd. 3, 1878. 
