182 Axel Thue. 
flade kan bringes til at ligge helt udenfor det oprindelige 
areals eller volums. 
Det er ikke vanskeligt ved det Euklidiske postulatums 
hjælp, at bevise den sætning, at naar et hvilketsomhelst 
plant areal overskjæres med en række parallele rette linier 
med samme afstand, da vil summen af de paa disse afskaarne 
stykker kun variere om en endelig størrelse, naar liniesyste- 
met bevæges paa en hvilkensomhelst maade, uanseet styk- 
kernes antal, eller hvad der bliver det samme, deres afstands 
størrelse. 
Af denne hjælpesætning, som vi senere skal bevise, føl- 
ger nu vor sats for arealets vedkommende direkte. 
Thi opstykker vi nemlig et areal paa en hvilkensomhelst 
maade og af delene sammensætter et nyt, da vil ifølge oven- 
staaende summen af de stykker, som dette areal afskjærer af 
vore parallele linier kun variere om en endelig størrelse 
fra summen af de stykker, som vort oprindelige areal vilde 
afskjære af det samme system, uanseet hvor fin inddelingen 
eller hvor stort stykkernes antal var gjort. 
Men kunde nu det sidste areals omkreds bringes til at 
falde helt udenom det førstes, og man saa overskar den sam- 
lede figur med det samme system parallele rette linier, da 
vilde man altsaa have, at summen af stykkerne mellem de 
to omkredse ikke kunde overskride en vis endelig grændse, 
hvor tæt end parallelerne var trukne. Heraf indser man nu, 
at der ikke kan existere noget areal mellem de to omkredse. 
Idet vi nu altsaa kan tale om størrelsen af en sum af 
arealer, kan man herved igjen bevise, at begrebet volum 
er et størrelsesbegreb. Vi forudsætter blot i lighed med, hvad 
vi gjorde for arealets vedkommende, den sætning, at summen 
af de arealer, som et volum afskjærer af en rekke parallele pla- 
ner med samme afstand, kun varierer om et endeligt areal, naar 
systemet af planer bevæges, uanseet om planernes afstand er 
nok saa liden. Heraf sluttes da paa samme maade, som for 
