Om størrelsesbegreberne areal og volum. 185 
Er V, og W, to paa hinanden følgende paralleler mel- 
lem hvilke et hjørne 4 befinder sig og er w en med systemet 
parallel linie gjennem A, skjærende triangelsiden a, da deler 
denne systemet i to andre. Flyttes nu disse hver for sig, saa 
at baade V, og W, faar en afstand x fra uw, saa sees at sum- 
men af stykkerne i hvert af de to systemer kun bliver for- 
mindsket med en størrelse, der er mindre end u. 
Flyttes nu atter det ene af systemerne, saaledes at til 
exempel V, falder sammen med u, saa faar herved summen 
af stykkerne en forøgelse u. 
Men den samme stilling af vore parallelle linier, som de 
nu efter disse flytninger har indtaget, kunde være frembragt 
ved blot at flytte hele det oprindelige system, saaledes at V, 
faldt sammen med x. Summen af de afskaarne stykker va- 
rierer altsaa under systemets. parallel forskyvning blot om en 
størrelse mindre end u, der, som vi før har bemærket, er min- 
dre end en af triangelets sider. 
Hermed har vi da godtgjort rigtigbeden af vor paastand 
for triangelets vedkommende. Men gjælder den for dette, maa 
den ogsaa gjælde for enhver polygon, da denne jo kan op- 
stykkes i lutter triangler. 
Ved nu at gaa til grændsen, faar vi paa vanlig vis, at 
vor hjælpesætning ogsaa gjælder arealer begrændsede af 
krumme linier samt for arealer paa krumme overflader. 
Paa analog vis kan vi saa bevise hjælpesætningen for 
rummets vedkommende og begynde med at undersøge sum- 
men af de arealer, der fremkommer, ved at overskjære et 
tetraeder med parallele planer med samme afstand. Men da 
gangen i beviset efter det forangaaende maa sige sig selv, 
kan det være nok med at have anført dette. 
Vi vil saa til slutning føre et absolutgeometrisk bevis 
for vort theorem, hvad arealet angaar og lade dette for 
bekvemheds skyld erholde følgende udtale: 
Naar n polygoner ved en eller anden sammenføining 
