Et bidrag til den absolute geometri. 
Af 
AXEL THUE. 
Te man for sig et hvilketsomhelst mathematisk 
theorem, viser det sig, at dets begrundelse er bygget paa 
visse forudsætninger, de saakaldte axiomer, ved hvilke man 
i regelen bliver staaende. 
Disse axiomer, som ved første oiekast ser temmelig ind- 
holdsløse og trivielle ud, vil ved et nøiere studium fremtræde 
i et eiendommeligt lys, der lader os ane en hel verden af 
mærkelige foreteelser. 
Det kan saaledes nok være umagen værd, at trodse de 
store vanskeligheder, som studiet af disse særdeles abstrakte 
gjenstande frembyder, for om mulig at sprede en del af det 
mørke, der endnu hviler over dette lidet kjendte omraade. 
Det er dog ikke vor mening, ialfald ikke i denne afhand- 
ling, at give nogen udtømmende behandling af de enkelte 
geometriske axiomer og deres indbyrdes sammenhæng eller 
endog blot at anføre alle de forudsætninger, vi gaar ud fra. 
Vi vil her kun til belysning af parallelaxiomet under- 
søge, hvorledes enkelte af de fundamentaleste sætninger i 
den sædvanlige geometri bliver at udtale, naar dette axiom 
sløifes. 
Af de anvendte definitionsegenskaber og axiomer skal 
vi særskildt fremhæve følgende: 
