Et bidrag til den absolute geometri. 309 
rer sees nu paa grund af de fremkomne kongruente tri- 
angler at vere lige store. i 
Den ved to af perpendikulærerne dannede firkant har 
altsaa to ligestore modstaaende sider, der danner rette 
vinkler med den triangelsiderne halverende side. 
Firkantens to andre vinkler maa følgelig ogsaa være 
- lige store og deres sum lig summen af vinklerne i trianglet; 
hvilket indsees ved simple kongruentsebetragtninger. 
Paa grund af symetrien faar man ogsaa, at den linie, 
der halverer firkantens to andre modstaaende sider, maa 
staa lodret paa disse. 
Vi har altsaa den sætning, at perpendikulæren paa 
midten af en side i et triangel stedse staar lodret paa for- 
bindelseslinien mellem de to andre siders midtpunkter. 
Var nu summen af vinklerne i vort triangel to rette, 
da var altsaa alle vinkler i firkanten rette; og ved sam- 
mensætning af saadanne firkanter kunde man igjen faa fir- 
kanter af samme art. 
Bemærker vi nu, at enhver firkant, der har alle sine 
vinkler rette, deles ved en linie, der halverer to modstaa- 
ende sider i to kongruente firkanter med den samme egen- 
-skab, da er det klart, at i enhver firkant, hvor to modstaaende 
sider er lige store og staa lodrette paa en af deres mellem- 
liggende sider, der er summen af de to andre vinkler to rette. 
Men herved er jo vor sats bevist. 
7. Af de to forangaaende sætninger følger nu, at er 
summen af vinklerne i et triangel større end to rette, da 
gjælder det samme for alle triangler. Var nemlig sum- 
men af vinklerne i et triangel mindre end to rette, da 
kunde man altsaa ved en kontinuerlig variation af triang- 
let overføre det i et triangel, hvor summen af vinklerne 
var større end to rette. 
Vort triangel har følgelig et steds maattet have en 
vinkelsum lig to rette, hvilket altsaa er umuligt. 
