Et bidrag til den absolute geometri. 311 
My 
4p+1 
eller n< 
Da nu m, <2R, saa indsees at n er mindre end enhver 
opgiven storrelse. 
Den forudsetning altsaa, atsummen af vinklerne skulle 
være større end to rette, fører saaledes netop til at sum- 
men er to rette.*) 
8. Ved en fra det foregaaende forskjellig betragtning 
kan vi paavise nogle grændseværdier større end to rette, 
som vinkelsummen ikke kan overskride. 
Lad os til exempel paavise, at vinkelsummen i et lige- 
sidet triangel ikke kan overskride 22 rette. 
I modsat fald, maatte der nemlig existere et ligesidet 
triangel, hvor vinkelsummen netop var 22 rette, eftersom 
man ved at lade det oprindelige triangels sider kontinuer- 
lig nærme sig tilat skjære hinanden i et punkt vilde havde 
at vinkelsummen fra at være større end 22 rette konti- 
nuerlig nærmede sig mod to rette. 
Af vort saaledes erholdte triangel kan der nu lægges 
fem om hvert punkt i planet; og ved at fortsætte saaledes 
med at lægge slige triangler ved siden af hinanden, vilde 
man, som det let sees efter den 19de lægning have faaet 
som kontur for den dannede polygon et triangel kongruent 
med de andre (slg. det regulere ikosaeder). 
Dette vilde da,som man ser, fore til en hel del umulig- 
heder hvoriblandt at hverken vinkelbegrebet eller areal- 
begrebet var storrelsesbegreber, at trianglets omkreds var 
større end sig selv o. s. v. 
*) Ovenstaaende bevis kan varieres en del. Det kommer blot an paa 
at faa frem, at der om k kongruente n kanter kan konstrueres en m 
kant, saaledes at m ikke voxer med x, hvorpaa den i begyndelsén af 
7 fremførte sætning bringes til anvendelse. Om de i 4 fremkomne 
firkanter kan der saaledes til ex. konstrueres en ny firkant, hvorpaa 
et nyt bevis om vinkelsummen da kunde bygges. 
