Et bidrag til den absolute geometri. 313 
smaa trianglers hjørner, deles herved vort ligebenede tri- 
angel foruden i de g kongruente smaa triangler desuden i 
2q — 1 til. | 
Betegner man nu summen af vinklerne i disse triangler 
med 2R(2q — 1) — v og summen af vinklerne i hver af de 
kongruente med 2R — s, og endelig summen af vinklerne i 
det ligebenede triangel med 2R— u, da faar vi: 
2R — u + 4(q — 1) R+2R+(q—1)2R = g2R— 5) 
+ 2R(2q — 1) —v 
eller —u= — gs — v 
hvoraf s< à 
Da nu her uw stedse maa vere mindre end to rette, me- 
dens g kan voxe over alle grændser, saa indsees at den 
antagelse at % er forskjellig fra nul netop fører til, at s 
maa være nul, og hermed er satsen bevist. 
11. Som bekjendt kan man uden parallelaxiomets hjælp 
bevise den sætning, at i et triangel en større side har en 
større modstaaende vinkel end en mindre side og omvendt. 
Heraf flyder nu med lethed følgende sætninger, der vil 
komme til anvendelse i det efterfølgende: 
En linie, der staar lodret paa to andre repræsenterer 
den korteste afstand, som kan tænkes mellem to punkter 
paa disse linier. 
Naar man fra et punkt paa den ene af to paa en tredie 
lodrette linier nedfælder en perpendikulær paa den anden, saa 
bliver denne perpendikulær desto større, jo længere dens 
fodpunkt er fjernet fra den paa de to linier lodrette linie. 
Naar i to retvinklede triangler en af de spidse vinkler 
er parvis lige store i begge, da er alle siderne størst i det 
triangel, hvor den omtalte vinkel har den største modstaa- 
ende side. 
12. Naar en ret linie af et triangels to sider afskjæ- 
rer stykker, der regnet fra de to siders skjæringspunkt 
