324 Axel Thue. 
saadanne hexaedre og saaledes, at der legger sig 5 om 
hver sidekant eller 20 om hvert hjerne. 
Ved at anstille de samme betragtninger over de ovrige 
regulere legemer, viser det sig at rummet paa hele to 
forskjellige maader kan opstykkes i lutter dodekaedre og 
kun paa en maade i ikosaedre. 
Tetraedret og oktaedret derimod vil ikke give anled- 
ning til nogen saadan opdeling af rummet. 
Af disse eiendommelige konsekventser af parallelaxio- 
mets feilagtighed flyder nu mange merkelige forhold i den 
absolute geometri, hvilke jeg ved en senere leilighed skal 
fremstille. 
Mekaniken stiller sig ogsaa i et merkeligt lys ligeover 
for disse ting. 
Det fundamentale princip om kræfternes parallelogram 
existerer her ikke lenger. Begrebet retning faar ikke sin 
sædvanlige betydning osv. 
Et spørgsmaal kunde det da være, hvorledes meka- 
nikens axiomer blev at udtale, for at man til exempel 
deraf ogsaa skulle kunne bevise kraftens uforgjængelighed 
eller umuligheden af et perpetuum mobile. 
19. At vinkelsummen i et triangel var mindre end to 
rette, fremgik, som vi saa, blandt andet af den antagelse, 
at den rette linie var af ubegrændset længde. 
Paa kuglen derimod, hvor en storcirkel er af endelig 
længde, overbeviser man sig let om, at vinkelsummen er 
større end to rette. 
Men heraf følger, eftersom kongruentseaxiomet og kon- 
tinuitetsprincippet ligegodt gjælder om sfæriske som om 
plane triangler, at de paa sætningen om disses vinkel- 
sum, udledede uligheder fremdeles ogsaa maa finde sted 
paa kuglen, naar blot ulighedstegnet vendes. 
Endvidere ser man af samme grund, at alle de sæt- 
ninger, der udtrykke en lighed i planet fremdeles maa 
