Et bidrag til den absolute geometri. 325 
gjælde paa kuglen, hvis deres bevis blot er baseret paa 
kongruentsebetragtninger. 
Heraf indser man da igjen, som bekjendt, at parallel- 
axiomet ikke kan udledes af bare saadanne betragtninger. 
Man mærke sig imidlertid, at dette kun er strengt be- 
vist, naar kongruentseaxiomet blir anvendt i det to dimen- 
sionale rum. 
| Har man saaledes bevist en plan sætning ved hjælp 
af kongruentse- eller symetribetragtninger i rummet, saa 
tør deraf ikke strax sluttes, at den samme sætning kunde 
erholdes ved lignende betragtninger i planet, eller hvad 
der bliver det samme, at sætningen ogsaa gjælder paa 
kuglen. | 
Hvis saa var, existerte der altsaa en mærkelig dualitet 
mellem plane og sfæriske figurer. 
Det fortjener maaske her til belysning af ovenstaaende 
at bemærkes, at visse sætninger, der ved plane operationer 
er meget vanskelige at erholde, ved simple rumbetragtninger 
næsten blir selvindlysende sandheder. 
Det er da især sætninger af descriptiv og projektiv 
natur dette gjælder, og beviset føres kun gjennem kon- 
gruentsebetragtninger*). 
Lad os til exempel føre et absolut bevis for at medi- 
anerne i et triangel skjærer hverandre i et punkt. 
Vi har seet, at perpendikulæren paa midten af en side 
i et triangel ogsaa staar lodret paa linien gjennem de to 
andre siders midtpunkter**). 
- Heraf i forbindelse med den absolut beviste sætning, 
at to linier, der staar lodrette paa et plan, selv ligger i 
*) Et exempel herpaa har jeg vist i «Tids. f. Math.», 1884, pag. 181. 
**) Af denne sætning følger ogsaa, kan man mærke sig, at høiderne i 
et triangel, hvis hjørner halverer et andets sider, skjære hverandre 
i et punkt, dersom dette ydre triangel kan indskrives i en cirkel. 
