354 Sophus Lie. 
Untergruppe gn, deren Transformationen sämmtlich unsere 
Figur F invariant lassen. 
Wenden wir jetzt auf F die allgemeinste Transformation S 
der Gruppe G, an, so erhält, wie wir sehen werden, F im 
Ganzen, nicht oo" sondern nur oo" verschiedene Lagen 7’, deren 
Inbegriff bei der Gruppe G, invariant ist. Dass der Inbegriff 
von allen Figuren F" = FS die Gruppe G, gestattet, ist ohne 
Weiteres klar, denn jedes 7’, welches aus F durch eine Trans- 
formation S entstanden ist: (#’)=(F)S, geht bei einer be- 
liebigen Transformation S, der Gruppe G, über in: 
(F)S,=-(P)SS,=-(F)S8,, 
sodass jede Figur (F)S, mit einer gewissen Figur F’ zu- 
sammenfållt. Die Schaar F"' bleibt also wirklich invariant 
bei der Gruppe G,. Um jetzt noch zu beweisen, dass 
diese Schaar bloss aus o'™™ Figuren besteht, bedienen wir 
uns eines früheren Satzes. Wir haben nämlich früher ge- 
zeigt, dass alle ot Transformationen S einer r-gliedrigen 
Gruppe G, sich in gewissem Sinne aus o™ und œ'" unter 
ihnen zusammensetzen lassen. Wählten wir nämlich irgend 
welche o™ Transformationen 7 der Gruppe aus, so konnten 
wir immer o™™ andere Transformationen T unserer Gruppe 
derart auswählen, dass TT allgemeines Symbol einer Trans- 
formation S wurde. Davon machen wir jetzt eine Anwendung. 
Als Transformationen 7 wählen wir die ©" Transformationen 
der oben besprochenen m-gliedrigen Untergruppe 9m und 
bestimmen darnach die æ'” Transformationen T- nach der 
früher angegebenen Weise. Da nach dem oben Gesagten 
(F)T= (F) ist, erhalten wir 
(F)S = (F)TT = (PT, 
das heisst: F nimmt vermöge der æ" Transformationen S ge- 
rade soviel, nämlich o™™ Lagen an, als vermöge der wo" 
Transformationen T. Damit ist unsere Behauptung bewiesen. 
Satz. Gestatiet eine Figur gerade m unabhängige inji- 
nitesimale Transformationen einer r-gliedrigen Gruppe Gy, so 
