Untersuchungen über Transformationsgruppen II. 355 
nimmt sie bei Ausführung aller Transformationen der G, genau 
orm verschiedene Lagen an, deren Inbegrif bei der Gruppe 
invariant bleibt. 
Nunmehr wenden wir auf den Inbegriff der oo"m Lagen 
von F die Transformationen unserer Gruppe G, an. Der In- 
begriff bleibt invariant, aber seine einzelnen Figuren werden 
unter einander vertauscht; dabei kann jede Figur in jede 
andere übergeführt werden, denn ist etwa (fF) =(F)S,, 
(F,) = (F)S,, so ergiebt sich (F,) = (F,)S, 1S, = (F,)S3.- 
Sind % ...%-m die Parameter von den einzelnen Figuren 
unserer Schaar, so geht durch Ausführung einer Transfor- 
mation S jede Figur mit den Parametern w, ...%-m in eine 
gewisse andere Figur der Schaar mit etwa den Parametern 
u"... %-'m über. Hat nun S die Form 
vi = file] ++ -&n; GG), 
was wir durch die Bezeichnung Sa) andeuten wollen, so be- 
stehen gewisse Gleichungen 
Ur = Øk (U1 +++ Um} Gy +++ Ar) (k=1...r-m) 
und zwar bilden dieselben nothwendig eine Grappe. Führen 
wir nämlich jetzt eine Transformation S») aus, so erhalten 
wir neue Gleichungen 
a“ i 
u = Dy (Wü) +»»Ur-m; di... dr), 
während sich auf der andern Seite wegen Sm) Sw) = S.., ergiebt: 
U, = OK (CA ee « Ur-m 5 Cy Sh. ei) 
wobei die ¢, jene bekannten Funktionen x (a,b) bedeuten. 
Damit ist alse wirklich gezeigt, dass die Gleichungen 
u'x= @r(u,a) eine Gruppe und zwar eine mit der ursprünglichen 
Gruppe + = fi (x, a) oder G, isomorphe Gruppe bilden. Die 
Gruppe u’% = ox (u, a) ist ausserdem transitiv, da sie jede 
Figur F in jede andere und also auch jedes Werthsystem ux 
im jedes andere überführen kann; unter ihren r Parametern 
a, ...a Sind daher mindestens r-m wesentlich. 
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