356 Sophus Lie. 
Es lassen sich einfache Criterien aufstellen, aus denen 
entschieden werden kann, wie viele wesentliche Parameter 
die Gruppe u‘ = æx (u,a) wirklich enthält. 
Die Figur F gestattete alle Transformationen 7 einer 
m-gliedrigen Untergruppe gm, ebenso gestattet (F’) = (F)S die 
Transformationen S* TS, denn es wird ja: 
(F)S!TS = (F)TS = (F)S = (F'). 
Die Transformationen S*TS bilden eine m-gliedrige Unter- 
gruppe g‘m, welche innerhalb G, offenbar mit der Gruppe aller 
T ad. h. mit gn gleichberechtigt ist. Die Gruppe g'm ist 
ausserdem die allgemeinste in G, enthaltene Untergruppe, 
welche F’ invariant lässt; denn jede Transformation 7", welche 
ergiebt (£")7" = (F'), genügt wegen (F‘) = (F)S der Be- 
dingung: 
(F)ST' = (F)S, 
mithin ist S7’S eine Transformation T und 7" eine Trans- 
formation S178 d. h. T' ist in g‘m enthalten. Wir haben da- 
her zunächst den Satz: 
Satz. Ist F irgend eine Figur, welche alle Transfor- 
mationen einer m-gliedrigen Untergruppe der r-gliedrigen Gruppe 
G, gestattet und daher bei den co" Transformationen dieser 
Gruppe nur "m Lagen F' annimmt; so gestattet auch jedes 
F' eine m-gliedrige Untergruppe von G,; alle diese m-gliedrigen 
Untergruppen sind innerhalb der G, mit einander gleichbe- 
rechtigt. 
Hat nun die Gruppe 
Ur = GI, (2) ..o Ur-m ay eee ay) 
nur r-q wesentliche Parameter, also nur r-g unabhängige infi- 
nitesimale Transformationen, so ist sie mit der Gruppe Axf 
meroedrisch isomorph; es giebt dabei in der Gruppe Ækf eine 
invariante g-gliedrige Untergruppe gq, welche der identischen 
Transformation der Gruppe w'x = å entspricht. Diese g-glied- 
