368 Sophus Lie. 
gleichgültig ist, welche von den on bei der Gruppe 
Y,f... Ymf invarianten M, man auswählt. 
Bekanntlich giebt es nämlich ow" Transformationen, 
welche jedes Y,/ in 
U, 
r à af 
1 = 3 i ‘ ae Sa eut 
Puf = Fi Maly, Y's) sr 
überführen; es sind diess die Transformationen der zu 
Y,f... Y.f gehörigen reciproken Gruppe. Dieselben be- 
stimmen sich aus dem vollständigen Systeme 
Yıf + Yxf=0 NE 
in der Form: 
(A) Orly, +++ Yr YG +++ Yr) = Const. (e=T1...7r). 
Wie man leicht sieht und wie übrigens bereits in der 
vor Kurzem angefiihrten Nummer bemerkt ist, werden die bei 
der Gruppe Y,f... Ym/ invarianten Mannigfaltigkeiten Wn 
von den Transformationen (A) unter einander vertauscht. 
Da aber die Transformationen (A) jeden Punkt y in jeden 
andern überführen, können sie auch jeden der ~™™ M, in 
jede andere überführen, womit gezeigt ist, dass unter den 
M, eine ganz beliebige gewählt werden kann, ohne dass dies 
auf das Ergebniss Einfluss hat. 
Wir haben jetzt, so weit es sich in voller Allgemeinheit 
thun lässt, gezeigt, dass gewisse Willkürlichkeiten, die bei 
unserer Bestimmung der transitiven Gruppen von gegebener 
Zusammensetzung auftraten, für das Resultat ohne Belang 
sind. In jedem einzelnen Falle wird dann noch speciell zu 
untersuchen sein, ob alle noch übrigen Möglichkeiten wirklich 
wesentlich verschiedene Gruppen liefern. Jedenfalls aber 
können wir sagen: 
Theorem. Alle r-gliedrigen transitiven Gruppen von ge- 
gebener Zusammensetzung lassen sich durch ausführbare Ope- 
rationen bestimmen. Ist eine Zusammensetzung also ein Werth- 
