372 Sophus Lie. 
erfüllen. Es liegt in der Natur der Sache, dass weder die 
Zahl s der Variabeln æ noch die Parameterzahl r der Gruppe 
kleiner als mn sein kann. : Unsere Gruppe enthält bekanntlich 
gerade ©"? Transformationen, welche einen Punkt (x) von 
allgemeiner Lage invariant lassen. Diese Transformationen 
bilden eine (r-n)-gliedrige Untergruppe g:n und es gehört 
offenbar zu jedem Punkte (x) eine ganz bestimmte Unter- 
gruppe gr». Schon bei verschiedenen Gelegenheiten haben 
wir dieser Untergruppen Erwähnung gethan; wir bemerkten 
insbesondere, dass die dem Punkte xx" zugehörige Gruppe 
grn von allen infinitesimalen Transformationen Ze Xxf er- 
zeugt wird, deren Reihenentwickelungen nach der a — æx° 
kein Glied nullter sondern nur Glieder höherer als nullter 
Ordnung enthalten. Auf diese Bemerkung werden wir auch 
in diesem Paragraphen später zurückkommen. 
4. Setzen wir zur Abkürzung 
Pri (©, 00 Bs) = qui 
so liefern die r-n Ausdrücke 
nr == Pr, A, am ty ek one Prr AG 
mit den Constanten px; offenbar infinitesimale Transforma- 
tionen unserer r-gliedrigen Gruppe, welche den Punkt 2° 
invariant lassen. Und da diese r-n inf. Transformationen 
unabhängig sind, indem sonst auch X, ... X, eine lineare 
Relation mit constanten Coefficienten erfüilten, so schliessen 
wir, dass der Ausdruck 
Ir An+x (Air Te Pr, A, Er ee Os Pxn°® Xn) 
mit den r-n arbiträren Constanten d,jx alle inf. Transfor- 
mationen 3 ex X.f liefert, welche den Punkt x,° allgemeiner 
Lage invariant lassen. Wir kennen hiermit. die dem Punkte 
zx zugeordnete Gruppe g:-n- 
Lassen wir nun den Punkt x,.° nach und nach verschiedene 
